INTRODUÇÃO À TRIGONOMETRIA

PROBABILIDADE

http://jmp25.blogspot.com/2009/08/11-medidas-de-comprimento.html

www.csasp.g12.br/.../%7B6A7C09EE-52FC-4D75-ABF8-...

01. O número de chapa de um carro é par. A probabilidade de o algarismo das unidades ser zero é:

02. Uma urna contém 3 bolas numeradas de 1 a 3 e outra urna com 5 bolas numeradas de 1 a 5. Ao retirar-se aleatoriamente uma bola de cada uma, a probabilidade da soma dos pontos ser maior do que 4 é:

a) 3/5
b) 2;5
c) 1/2
d) 1/3
e) 2/3

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As razões trigonométricas de 30º, 45º e 60º

Considere as figuras:

quadrado de lado l e diagonal

Triângulo eqüilátero de lado I e altura

Seno, cosseno e tangente de 30º

Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para os ângulos de 30º, temos:

Seno, cosseno e tangente de 45º

Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente´para um ângulo de 45º, temos:

Seno, cosseno e tangente de 60º

Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para um ângulo de 60º, temos:

Resumindo

x	sen x	cos x	tg x
30º
45º
60º

Breve história da trigonometria

A palavra Trigonometria tem origem grega: TRI (três), GONO (ângulo) e METRIEN (medida). Etimologicamente, significa medida de triângulos. Trata-se, assim, do estudo das relações entre os lados e os ângulos de um triângulo.

Apesar dos egípcios e dos babilónios terem utilizado as relações existentes entre lados e ângulos dos triângulos, para resolver problemas, foi a atracção pelo movimento dos astros que impulsionou a evolução

da Trigonometria. Daí que, historicamente a

Trigonometria apareça muito cedo associada à Astronomia.

No séc. III a.C., Arquimedes de Siracusa no seguimento do trabalho que desenvolveu para calcular o perímetro de um círculo dado o respectivo raio, calculou o comprimento de grande número de cordas e estabeleceu algumas fórmulas trigonométricas.

As medições e os resultados dos cálculos feitos pelos astrónomos eram registados em tábuas. As tábuas babilónicas revelam algumas semelhanças com as tábuas trigonométricas.

Surgiu então, na segunda metade do século dois a.C., um marco na história da trigonometria: Hiparco de Nicéia (180-125 a.C.). Influenciado pela matemática da Babilónia, acreditava que a melhor base de contagem era a 60. Não se sabe exactamente quando se tornou comum dividir a circunferência em 360 partes, mas isto parece dever-se a Hiparco, assim como a atribuição do nome arco de 1 grau a cada parte em que a circunferência ficou dividida. Ele dividiu cada arco de 1° em 60 partes obtendo o arco de 1 minuto. Hiparco baseava-se numa única função, na qual a cada arco de circunferência de raio arbitrário, era associada a respectiva corda.

Hiparco construiu o que foi presumivelmente a primeira tabela trigonométrica com os valores das cordas de ângulos de 0° a 180°.

Assim, Hiparco representou um grande avanço na Astronomia e por isso recebeu o título de “Pai da Trigonometria”.

Outra tábua, também de cordas, mas mais completa foi construída por Ptolomeu (séc. II). Esta já possuía cordas para ângulos crescen

tes, desde 0º até 180º, em intervalos de 1/2 graus. O raio usado era diferente do de Hiparcus, sendo também fixo e muito grande. Note-se que o facto de usar um raio muito grande diminui o uso de fracções.

Foi Ptolomeu (séc. II) quem influenciou o desenvolvimento da Trigonometria, durante muitos séculos. A sua obra Almagesto contém uma tabela de cordas correspondentes a diversos ângulos, por ordem crescente e em função da metade do ângulo, que é equivalente a uma tabela de senos, bem como uma série de proposições da actual disciplina. No Almagesto reuniu os conhecimentos existentes na época sobre Astronomia e Trigonometria e a que os árabes tiveram acesso. Estes introduziram os conhecimentos de Trigonometria para a Europa através de Espanha.

A relação da Astronomia com a Trigonometria fez com que esta se desenvolvesse aplicada a triângulos curvos de lados curvilíneos que se formam sobre a superfície esférica. Assim, a Trigonometria Esférica desenvolveu-se anteriormente à Trigonometria Plana, o que se deveu ao facto de a Trigonometria Esférica ser muito utilizada nos cálculos astronómicos e na navegação, sendo sistematizada por árabes e hindus até meados do séc. XIII. A contribuição destes foi bastante grande, tendo calculado tabelas de senos para intervalos com variação de 15’. A palavra sinus – seno – é a tradução, em latim, da grafia árabe do sânscrito jyã. O seno correspondia a metade da corda do arco duplo e os árabes e os hindus usavam, geralmente, círculos de raio unitário.

O recurso constante ao círculo trigonométrico e a aplicação da Trigonometria à resolução de problemas algébricos é feita por Viète– séc. XVI – que estabeleceu também alguns resultados importantes.

Contudo, foi Euler (séc. XVIII) que, ao usar invariavelmente o círculo de raio um, introduziu o conceito de seno, de co-seno e de tangente como números, bem como as notações actualmente utilizadas.

O primeiro vestígio do tratamento funcional da Trigonometria surgiu em 1635, quando Roberval fez o primeiro esboço de uma curva do seno. Mas, a ligação da Trigonometria à Análise só é feita por Fourier (séc. XIX), como consequência do estudo dos movimentos periódicos por ele efectuado.

As funções trigonométricas como o seno, o coseno e a tangente, relacionam medidas de ângulos, a medidas de segmentos de recta a eles associados.

Actualmente a trigonometria não se limita a estudar os triângulos. Encontramos aplicações na mecânica, electricidade, acústica, música, astronomia, engenharia, medicina, enfim, em muitos outros campos da actividade humana. Essas aplicações envolvem conceitos que dificilmente lembram os triângulos que deram origem à trigonometria:

• Há métodos actuais de análise em medicina, onde são enviadas ondas ao coração, de forma que efectuem interacções selectivas com os tecidos a observar
• Geodésia: estudo da forma e dimensão da Terra
• Método do momento eléctrico para cálculo de linhas de transporte de energia eléctrica: permite calcular com grande sensibilidade a potência de transporte de linhas, as perdas e a distância a que ela poderá ser transportada
• Estudo da intensidade luminosa: calcula-se a intensidade luminosa irradiada por uma fonte luminosa para uma determinada direcção
• Instrumentos de medidas de ângulos: topografia, ciência náutica e cartografia
• Numa pesquisa realizada em 1997, com engenheiros que actuam em empresas de grande porte da região da Serra Gaúcha, foi constatado que a trigonometria é o conceito de matemática básica mais utilizado por eles no seu quotidiano

anamixa.tripod.com/id9.html -

softwares de matemática

Planilha para calcular razões trigonométricas

http://www.somatematica.com.br/softw/circulo_trigonometrico.zip

Clicando no link acima, o usuário abrirá uma planilha do Excel, que calcula os valores das razões trigonométricas para ângulos de 0° a 360° e mostra os valores encontrados no círculo trigonométrico. É muito simples de usar. Basta o usuário digitar o ângulo, que os valores das razões trigonométricas e suas representações na circunferência, logo aparecem.

Em trigonometria, podemos utilizar diversos recursos que auxiliam na construção do conhecimento e devem fazer parte do processo ensino - aprendizagem. e neste tópico estaremos disponibilizando links de softwares de matemática. É só clicar e utilizar essas maravilhosas ferramentas que só tem a contribuir na construção do conhecimento.

http://math.exeter.edu/rparris/peanut/wgpr32z.exe

DESAFIOS

O chapéu ou a vida

Num reino em crise, o rei Maximus pretende eliminar os seus três sábios conselheiros. Como sente algum carinho pelos sábios resolve dar-lhes uma última oportunidade de salvarem a vida. Se os sábios forem capazes de resolverem o seguinte problema o rei não os mandará matar.

O rei colocou os três sábios em fila indiana e disse-lhes: “ Disponho de cinco chapéus, três brancos e dois pretos. Vou colocar na cabeça de cada um de vocês um destes chapéus, de forma que cada um de vós é capaz de ver o chapéu daqueles que estão à sua frente, mas não é capaz de ver o seu próprio chapéu, nem o chapéu daqueles que estão atrás ( o último sábio da fila vê os chapéus dos outros dois, o do meio só vê o chapéu do primeiro sábio e o primeiro sábio da fila não vê nenhum dos chapéus). Para salvarem a vida, pelo menos um dos três sábios terá que dizer de que cor é o chapéu que tem na sua cabeça. Mas, se um de vocês se enganar na cor morrem os três.

O rei colocou três dos chapéus na cabeça dos sábios e escondeu os outros dois. De seguida, perguntou ao último da fila de que cor era o seu chapéu e ele nada respondeu; perguntou ao do meio a cor do seu chapéu e este nada respondeu; quando perguntou ao primeiro a cor do seu chapéu este respondeu acertadamente e sem qualquer sombra de dúvida, ficando os três sábios livres.

De que cor era o chapéu do primeiro sábio? Por quê?

História da matemática nas aulas de trigonometria

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NAS AULAS DE TRIGONOMETRIA

Francisco Canindé de Oliveira

Escola Est. Des. Floriano Cavalcanti (Natal, RN)

candeoliv@bol.com.br

Dra. Bernadete B. Morey.UFRN (Orientadora)

bernadetemorey@matrix.com.br

A trigonometria é talvez o ramo da matemática que mais se desenvolveu como resultado da interação contínua entre a oferta de teorias matemáticas aplicáveis e técnicas acessíveis em qualquer momento e a demanda de uma única ciência aplicada, a astronomia. Por muito tempo esses dois campos do conhecimento, trigonometria e astronomia, foram considerados juntos. Somente no século XIII passou-se a considerar os dois assuntos como tópicos separados.

Até mesmo dentro do próprio corpo teórico da trigonometria ocorreu esse tipo de interação entre teoria e aplicação, houve uma interação continua entre a análise numérica e a geometria. Algumas considerações algébricas foram muito importantes e essenciais, embora o simbolismo predominante na álgebra só tenha sido introduzido no século XVI. Assim a história da trigonometria mostra o crescimento de três ramos da matemática em seu interior: a álgebra, a análise e a geometria.

O início do desenvolvimento da trigonometria perde-se na pré-história. Pode ser identificado nas primeiras seqüências numéricas relacionando comprimentos de sombras com horas do dia. Há uma grande lacuna entre estas seqüências e as técnicas usadas por Hipaco para solução de figuras planas. Essa “trigonometria” era baseada numa única função, a corda de um arco de círculo arbitrário.

Tudo isso se originou na região do Mediterrâneo leste e foram registradas por povos que escreviam em grego, e estavam bem estabelecidas por volta do século II de nossa era. O centro das atividades deslocou-se então para a Índia, onde a função corda transformou-se em variações do seno, e percorreu o caminho de volta. No período que

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vai do século IX ao século XV, a nova função seno e as antigas funções sombra (tangente, co-tangente, secante, etc) foram cuidadosamente tabuladas, isso ocorreu numa região que vai da Síria a Ásia Central. Aparece então uma trigonometria genuína, pois só então o objeto de estudo passou a ser o triângulo plano ou esférico, seus lados e ângulos.

Conforme o centro das atividades em astronomia deslocou-se para a Europa o mesmo ocorreu com a trigonometria. Uma contribuição européia foi fundamental, a substituição das regras verbais por símbolos. A invenção do cálculo infinitesimal e a descoberta e exploração do domínio complexo colocou um fim da trigonometria como ramo independente. Toda a teoria da trigonometria foi incluída na análise e até o final do século XVIII Leonhard Euler e outros já haviam apresentado todos os seus teoremas como corolários da teoria das funções complexas. Porém a trigonometria, muito útil para agrimensores e navegadores, continuou sendo estudada isolada como matéria escolar.

A trigonometria teve o seu desenvolvimento cada vez mais acelerado. Segundo Kennedy, 1992:

“O desenvolvimento cada vez mais acelerado da trigonometria é uma ilustração clara do fato de que o conhecimento tende a se acumular a uma taxa proporcional à quantidade que já se tem em mãos De modo geral, pode-se dizer que seu crescimento é exponencial em relação ao tempo”.

Algumas observações inerentes às exposições históricas devem ser feitas para que possamos continuar com essa exposição. O historiador narra os fatos e descreve situações baseadas, em nosso caso, em conjecturas incertas acrescidas de fatos ocasionais. Essa descrição dá ao leitor uma impressão de continuidade e racionalidade, mais isso é ilusório. O conhecimento de trigonometria não floresceu instantaneamente, mas através de uma série de saltos descontínuos. Pode-se dizer que muitas vezes importantes feitos se difundiram muito lentamente, e às vezes até chegaram a desaparecer, para depois voltarem a aparecer novamente.

Temos, então, três categorias de pessoas que normalmente se defrontam ou se defrontaram com situações como as descritas anteriormente: o inventor, o historiador e o estudante. O inventor de uma técnica ou aplicação usa as informações que herdou para arranjas maneiras mais eficazes de responder a velhas questões ou colocar e responder a novas. O historiador procura recompor através de textos e artifícios os processos mentais do inventor, sendo nesse caso o seu enfoque limitado pela suas concepções

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pessoais. E finalmente temos o estudante para o qual um determinado problema é tão novo quanto já foi para o inventor.

Através do exemplo dado pelo inventor é possível que tanto o historiador quanto o estudante possam compreender melhor um determinado assunto ou aumentar sua compreensão do mesmo. Foi esse fato que me levou a pesquisar e elaborar atividades retiradas do contexto da história da matemática e aplicá-las em turmas de oitava série.

A seguir apresento algumas dessas atividades e faço um relato das observações realizadas durante as aulas de Matemática de uma escola da rede pública da cidade do Natal. Esse relato traz algumas experiências bem sucedidas que mostram ser possível encontrar soluções para alguns dos graves entraves que permeiam as nossas salas de aula de Matemática, sobretudo a falta de motivação e a dificuldade que os alunos têm para representar, ler ou interpretar problemas.

Após freqüentar alguns cursos e encontros para professores de matemática, nos quais se incentivava a mudança de postura do professor no sentido de buscar inovações para suas aulas de matemática, e iniciar meus estudos na pós-graduação, senti-me motivado a modificar minhas aulas. Comecei minhas experiências em três turmas da 8a série da Escola Estadual Des. Floriano Cavalcanti. Os assuntos escolhidos foram introdução á trigonometria e geometria. Procurei incrementar as aulas com atividades que utilizassem a história da matemática como recurso didático-pedagógico. O resultado que fui percebendo já desde as primeiras aulas foi um tanto surpreendente como irei detalhar mais tarde.

Algumas dessas atividades foram retiradas do livro texto, outras eu mesmo elaborei, e outras adaptei. Minha intenção, ao elaborar essas atividades, era buscar um caminho tal que permitisse à maioria dos alunos entender os conceitos geométricos e de forma que pudessem aplicá-los à resolução de problemas e construção de outros conceitos. Minha experiência passada com aulas expositivas de geometria tinha mostrado que os alunos tinham grande dificuldade na compreensão dos conceitos e na aplicação dos mesmos a outras situações. Mesmo os exercícios mais simples tinham de ser repetidos várias vezes.

O início de minhas ações nesse sentido foi no segundo semestre de 2002. As atividades propostas para os alunos estão anunciadas a seguir:

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Atividade no 01: Teorema de Tales

Material: folha de caderno, régua, calculadora (opcional)

a) Tome três linhas paralelas da folha de seu caderno de forma que os espaços entre as linhas sejam diferentes.

b) Trace duas transversais sobre essas paralelas.

c) Usando uma régua efetue as medidas dos quatro segmentos determinados pelas paralelas e as transversais.

d) Divida as medidas dos dois segmentos formados pela primeira transversal e anote o resultado. Faça o mesmo com as medidos dos segmentos formados pela segunda transversal.

e) De posse desses resultados o que você observa? As medidas dos quatro segmentos formam uma proporção?

Atividade no 02: Soma dos ângulos internos de um triângulo

Material: cartolina colorida, cartolina branca (ou papel oficio), cola, tesoura.

a) Desenhe um triângulo na cartolina colorida e recorte-o.

b) Retire as três pontas do triângulo e cole-as na cartolina branca, de forma que os lados fiquem colados e os vértices coincidam.

c) O que você observou? Qual é a soma dos três ângulos?

Atividade no 03: Semelhança de triângulos.

Material: trena ou fita métrica, duas varas de tamanhos variados, blocos de anotações ou pranchetas, calculadora (opcional).

a) De posse da trena, ou fita métrica, encontre as medidas do comprimento das sombras das duas varas fincadas verticalmente no chão. Encontre também a altura da vara menor.

b) Faça um desenho representando as varas e suas sombras. O que você observa? Os triângulos formados são semelhantes? Porque?

c) Usando o conceito de semelhança de triângulos calcule a altura da vara maior.

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d) Procure alguma construção ou objeto bastante alto dentro do muro da escola e encontre a sua altura.

Comentários e observações:

1. A atividade no 01 serviu também como uma “preparação” para a turma, nesse sentido os alunos perceberam que eles iriam realizar algumas atividades diferentes das aulas tradicionais. O teorema de Tales foi assimilado pela maioria, na aula seguinte foi explorada situações que envolviam a álgebra e transcorreu sem maiores dificuldades.

2. As duas primeiras atividades foram iniciadas na sala de aula sob minha direção e completadas individualmente em casa pelos alunos.

3. Na atividade no 02 observei que os alunos mostraram interesse em saber o que aconteceria se, em vez de triângulo, utilizássemos outros polígonos. Propus que eles investigassem isso e, na aula marcada para a entrega dos trabalhos, notei que vários tinham testado o resultado para figuras de quatro lados.

4. Os resultados observados formam bastante significativos. Em primeiro lugar verifiquei que uma boa parte da turma tinha conseguido fazer a formalização dos conceitos, em conseqüência às atividades de aplicação dos conceitos foi realizada com mais rapidez se comparamos com os resultados obtidos em anos anteriores por uma turma com um mesmo perfil.

5. Geralmente os alunos preferem que o professor coloque um modelo no quadro para ser copiado no caderno. Isso não ocorreu, pois à maioria dos alunos conseguiram interpretar os enunciados, e os desenhos no plano. Dessa forma a interpretação e resolução de problemas mais complexos foram realizados por uma boa parte da turma, sem que eu precisasse apresentar um exemplo.

6. Observei também que o estudo das relações métricas no triângulo retângulo, na unidade seguinte, foi desenvolvido sem maiores dificuldades.

Outra observação, ainda sobre o enfoque histórico, têm que ser mencionada aqui. O professor que pretende usar a história da matemática em suas aulas terá que recorrer a outras leituras de apoio. Existem alguns textos que tratam somente do aspecto

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atividades e outros do aspecto da História da Matemática. Outros ainda, como MENDES (1997) juntam os dois aspectos mencionados aqui. Mendes faz algumas considerações a respeito do uso de atividades estruturadas no processo ensino-aprendizagem através da redescoberta. Ele defende o uso da História da Matemática de uma forma em que o aluno possa reconstruir, através da manipulação, alguns dos problemas vivenciados pelos matemáticos em outros períodos da história.

Outro tipo do texto, que veio a contribuir para minha reflexão a respeito das atividades citadas, foi o de HEIEDE (1996). O autor mostra que alguns episódios da história da matemática escritos em um grande número de livros didáticos não representam realmente os fatos narrados, ou não possuem evidências de sua existência. Estudos nesse sentido colocam em dúvida, quando não a existência do próprio Tales, pelos menos a veracidade do famoso episódio da medição da altura das pirâmides.

Enfim, cabe ao professor o papel de agente transformador dessa realidade em que está imersa o nosso ensino. Muitas vezes colocamos a culpa pelo fracasso nas salas lotadas ou na falta de recursos. Entretanto um bom desempenho nas atividades de ensino está atribuído à capacidade do professor de buscar as informações e um aperfeiçoamento contínuo. É necessário um pouco de coragem para enfrentar os desafios.

Atualmente estão sendo realizados muitos estudos envolvendo a história da matemática como recurso didático. O professor que pretende utilizar esse tipo de abordagem necessita assumir uma postura onde os erros e dúvidas de ambas as partes, professor e aluno, fazem parte do processo.

Bibliografia

JAKUBOVIC, José. Matemática na medida certa, 8a série: ensino fundamental. São Paulo: Scipione, 1999.

KENNEDY, Edwardy, História da trigonometria; trad. Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1992.

MENDES, Iran Abreu. Ensino de trigonometria através de atividades históricas. Natal: s.n.,1997.

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HEIEDE, Torkil. History of Mathematics and the Teacher. In: VITA MATHEMATICA. Historical Research and Integration With Teaching. Ronald Calinger (ed.). Wasghinton: MAA, 1996.

www.sbem.com.br/files/viii/pdf/05/RE22239839449.pdf